Нове дослідження про нескінченності ламає закони математики

Якщо ви у дитинстві (далекому) змагалися, хто знає більше число, то на якомусь моменті з'являлась нескінченність, яка заводила наївну дитячу суперечку у глухий кут (хоча хтось міг сказати "нескінченність плюс два" або "дві нескінченності" і безглузде змагання продовжувалось далі). Насправді ця ситуація чудово ілюструє, як нескінченність ламає закони математики, а нове дослідження (поки не рецензоване) демонструє деструктивну природу нескінченності з нового приголомшливого й дорослого погляду.

• 50-річну математичну "проблему з диваном" нарешті вдалось вирішити

Деталі

Цілком доречно, що такий незрозумілий результат прийшов би з теорії множин: це сфера з репутацією абстрактної та часто суперечить ​​інтуїції, але без неї не обійтися. В основі теорії множин лежить пошук способу приборкати математику раз і назавжди – з’ясувати, що можна довести, а що – лише припустити. Для цього математикам іноді доводиться шукати крайні випадки: шматочки математики, де речі настільки величезні, дивні чи фундаментальні, що всі правила, які ми сприймаємо як належне, починають руйнуватися.

Нескінченність — це неінтуїтивна концепція, яка часом спантеличує. Недостатньо сказати, наприклад, що нескінченність — це кількість натуральних чисел, бо якщо це так, то скільки існує парних чисел? Скільки дробів? Скільки, якщо включити також ірраціональні числа? Логічно, що відповідь на ці питання — також нескінченність, але тоді виходить, що у нас є два різні... розміри нескінченності?

Виявляється, математики можуть довести, що набори парних чисел, цілих чисел і дробів мають однаковий розмір – нескінченне число, відоме як ℵ0 (вимовляється як "алеф-нуль"). З іншого боку, набір дійсних чисел, тобто всіх раціональних та ірраціональних чисел, набагато більший.

Наскільки більший, це питання, яке вже виходить за межі того, що ми знаємо та можемо довести. Це світ "великих кардиналів" — настільки великих чисел, що неможливо довести їх існування за допомогою стандартних аксіом математики.

Співавторка нового дослідження, математик, логік, і теоретик множин в ICREA та Університеті Барселони в Іспанії Джоан Багарія зазначає, що саме існування великих кардиналів потрібно постулювати як нові аксіоми. Іншими словами, це не можна довести – лише припустити, що це істинно, так само як ми приймаємо як належне, що x = x.

Але ця позиція поза нормальними правилами також робить великі кардинали цінним інструментом для роботи з більш хитрими сферами математики. За словами дослідниці, вони дають глибше розуміння структури та природи математичного всесвіту. Вони дозволяють довести багато нових теорем і, отже, вирішити багато математичних питань, які неможливо розв’язати, використовуючи лише звичні аксіоми теорії множин.

Навіть у цьому нематеріальному світі нескінченності, яку неможливо довести, можна відчути якийсь порядок, до певної міри. Є кілька розмірів кардинальних чисел: недоступні кардинали, вимірні кардинали, компактні, суперкомпактні та величезні кардинали. Але навіть цей порядок руйнується, якщо йти далі. За словами Багарія, зрештою великі кардинали стають настільки сильними, що вступають у суперечність з аксіомою вибору (засадниче поняття теорії множин.

Саме в цю все більш дивну ієрархію вкинули нові числа. Позначені своїми першовідкривачами як "вибагливі" та "надвибагливі" кардинали, вони "живуть у найвищій частині ієрархії великих кардиналів". Багарія зазначає, що вони сумісні з аксіомою вибору і мають дуже природні формулювання, тому їх можна легко прийняти.

Проблема полягає в тому, що коли навіть в такій контрінтуїтивній сфері раніше вдавалося сказати, що один кардинал більший за інший, то з новими видами нескінченності це не працює. Інший автор дослідження Хуан Аґілера пояснює:

Як правило, великі поняття нескінченності "впорядковуються" в тому сенсі, що навіть якщо вони виявляються в різних контекстах, одне завжди явно більше або менше за інші. Надвимогливі кардинали, здається, відрізняються. Справа не тільки в тому, що вони самі собою дуже незвичні – вони змушують кардиналів, які в іншому випадку добре поводяться, діяти незрозуміло. Вони дуже дивним чином взаємодіють із попередніми уявленнями про нескінченність. Вони підсилюють інші нескінченності: кардинали, які вважаються помірно великими, поводяться як набагато більші нескінченності в присутності надвимогливих кардиналів.

Це несподіваний поворот у тому, що, на думку вчених, було досить добре продуманою ієрархією, і це має глибокі наслідки для уявлення нескінченності у майбутньому. На думку Аґілера, це свідчить про те, що необхідно внести деякі зміни. Можливо, структура нескінченності складніша, ніж дослідники думали, і це вимагає глибшого та більш ретельного дослідження.

Раніше ми повідомляли, що у США старшокласниці запропонували "неможливе" доведення 2000-річного математичного правила.